Distribution de Wigner-Ville

La distribution de Wigner-Ville, des noms de E. Wigner et J. Ville. Elle a été introduit par Eugene Wigner en 1932 dans le cadre de la physique quantique pour introduire des corrections quantiques à la physique statistique.

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Physique - Traitement du signal

La distribution de Wigner-Ville, des noms de E. Wigner et J. Ville. Elle a été introduit par Eugene Wigner en 1932 dans le cadre de la physique quantique pour introduire des corrections quantiques à la physique statistique. Son objectif était de remplacer dans l'équation de Schrödinger la fonction d'onde par une densité de probabilité dans l'espace des phases.

Cette fonction est par construction à valeurs réelle. Mais du fait de la redondance de la base de représentation, telle qu'exprimé par les relations d'incertitude, cette fonction peut prendre des valeurs négatives. Cela dit, ces valeurs de «probabilité» négatives ne sont présentes qu'à petite échelle, en dessous de $\hbar$ , quand la représentation classique dans l'espace des phases atteint ses limites. Les valeurs négatives traduise la présence d'interférences quantique dans l'espace de phase.

Dans un espace monodimensionnel, pour une fonction d'onde $ψ (x)$ on l'écrit P (x, p) :

$P(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int_{-\infty}ˆ{\infty} \psiˆ*(x+y)\psi(x-y)eˆ{2ipy/\hbar}dy$

En traitement du signal, la distribution de Wigner-Ville est fréquemment utilisée comme représentation temps-fréquence quadratique dérivée de la notion d'autocorrélation. La distribution de Wigner-Ville associée à un signal temporel $f (t)$ s'écrit :

$W(t,\nu )=\int f(t+\tau ) \cdot fˆ*(t) eˆ{2\pi i\nu\tau} \, d\tau$

Elle est reliée par transformée de Fourier (selon les deux variables de temps et de fréquence) à la fonction d'ambiguïté du signal. C'est une distribution temps-fréquence de la classe de Cohen (distributions quadratiques respectant les propriétés d'invariance en translation et en modulation).

Références

E. P. Wigner, "On the quantum correction for thermodynamic equilibrium", Phys. Rev. 40 (June 1932) 749-759.
H. Weyl, Z. Phys. 46, 1 (1927).
H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik (Leipzig : Hirzel) (1928).
H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics (Dover, New York, 1931).
H. J. Grœnewold, "On the Principles of elementary quantum mechanics", Physica, 12 (1946) 405-460.
J. Ville, "Théorie et Applications de la Notion de Signal Analytique", Cables et Transmission, 2A, 61-74 (1948).
J. E. Moyal, "Quantum mechanics as a statistical theory", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 45, 99-124 (1949).
W. Heisenberg, "Über die inkohärente Streuung von Röntgenstrahlen", Physik. Zeitschr. 32, 737-740 (1931).
P. A. M. Dirac, "Note on exchange phenomena in the Thomas atom", Proc. Camb. Phil. Soc. 26, 376-395 (1930).
C. Zachos, D. Fairlie, and T. Curtright, Quantum Mechanics in Phase Space (World Scientific, Singapore, 2005) ISBN 978-981-238-384-6.
http ://qis. ucalgary. ca/quantech/wiggalery. php
http ://gerdbreitenbach. de/gallery/
M. Levanda and V Fleurov, "Wigner quasi-distribution function for charged particles in classical electromagnetic fields", Annals of Physics, 292, 199 - 231 (2001). http ://arxiv. org/abs/cond-mat/0105137
[1] L. Cohen, “Time-Frequency Distributions-A Review, ” Proceedings of the IEEE, vol. 77, no. 7, pp. 941–981, 1989.

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