Filtre de Butterworth

Un filtre de Butterworth est un type de modèle de filtre linéaire, conçu pour posséder un gain aussi constant que envisageable dans sa bande passante.



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Diagramme de Bode d'un filtre de Butterworth passe-bas du premier ordre

Un filtre de Butterworth est un type de modèle de filtre linéaire, conçu pour posséder un gain aussi constant que envisageable dans sa bande passante.

Les filtres de Butterworth furent décrits pour la première fois par l'ingénieur britannique Stephen Butterworth  [1].

Caractéristiques

Gains de filtres de Butterworth passe-bas d'ordre 1 à 5 selon la fréquence

Le gain d'un filtre de Butterworth est le plus constant envisageable dans la bande passante et tend vers 0 dans la bande de coupure. Sur un diagramme de Bode logarithmique, cette réponse décroît linéairement vers -∞, de -6 dB/octave (-20db/décade) pour un filtre de premier ordre, -12db/octave soit -40dB/decade pour un filtre de second ordre, -18dB/octave soit -60dB/decade pour un filtre de troisième ordre, etc.


Fonction de transfert

Comme pour l'ensemble des filtres linéaires, le prototype étudié est le filtre passe-bas, qui peut être aisément modifié en filtre passe-haut ou positionné en série pour former des filtres passe-bande ou coupe-bande.

Le gain d'un filtre de Butterworth passe-bas d'ordre n est :

 G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = {1 \over \sqrt{ 1 + (\omega / \omega_\mathrm{c}) ˆ {2 n}} }

Gn est le gain du filtre,

Hn sa fonction de transfert,
j l'unité complexe j2 = − 1 (les électroniciens utilisent la lettre j au lieu de i (de imaginaire) pour ne pas confondre avec i de l'intensité)
ω la fréquence angulaire (ou pulsation) du signal en radians par seconde (rad. s-1) (ω = 2πf)
et ωc la fréquence de coupure (angulaire) du filtre (à -3 dB).

En normalisant l'expression (c'est-à-dire en spécifiant ωc = 1)  :

 G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = {1 \over \sqrt{ 1 + \omega ˆ {2 n}} }

Les 2n-1 premières dérivées de Gn sont nulles pour ω = 0, impliquant une constance maximale du gain dans la bande passante.

Aux hautes fréquences :

{{\left | H(j \omega) \right |ˆ2}_{dB}} = {20n}{log_{10}{\omega}}

Le roll-off du filtre (la pente du carré du gain dans un diagramme de Bode) est de 20n dB/décade.

Polynômes de Butterworth

La fonction de transfert normalisée d'un filtre de Butterworth peut être écrite sous la forme suivante :

H_n(s) = \frac {1} {B_n(s)}

Bn (s) est un polynôme de degré n.

La table suivante donne les premières valeurs de ces polynômes :

n Bn (s)
1 s+1
2 s²+1, 414s+1
3 (s+1) (s²+s+1)
4 (s²+0, 7654s+1) (s²+1, 8478s+1)
5 (s+1) (s²+0, 6180s+1) (s²+1, 6180s+1)
6 (s²+0, 5176s+1) (s²+1, 414s+1) (s²+1, 9318s+1)
7 (s+1) (s²+0, 4450s+1) (s²+1, 247s+1) (s²+1, 8022s+1)
8 (s²+0, 3902s+1) (s²+1, 1111s+1) (s²+1, 6629s+1) (s²+1, 9616s+1)

Comparaisons

Diagramme de Bode des gains d'un filtre de Butterworth, d'un filtre de Tchebychev de type 1, d'un filtre de Tchebychev de type 2 et d'un filtre elliptique

Les filtres de Butterworth sont les seuls filtres linéaires dont la forme générale est identique pour l'ensemble des ordres (mis à part une pente différente dans la bande de coupure).

Par comparaison avec les filtres de Tchebychev ou elliptiques, les filtres de Butterworth ont un roll-off plus faible qui implique d'utiliser un ordre plus important pour une implantation spécifique. Leur gain est par contre nettement plus constant dans la bande passante.

Implémentation

Schéma type d'une implémentation Cauer-1 d'un filtre de Butterworth

Un filtre de Butterworth dont on connait la fonction de transfert peut être implémenté électroniquement suivant la méthode de Cauer. Le ke élément d'un tel circuit est donné par :

C_k = 2 sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ] (k impair)
L_k = 2 sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ] (k pair)


Bibliographie

Notes

  1. S. Butterworth, «On the Theory of Filter Augmenters», Wireless Engineer, vol. 7 (1930), pp. 536-541

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