Filtre de Kalman

Le filtre de Kalman est un filtre à réponse impulsionnelle illimitée qui estime les états d'un dispositif dynamique à partir d'une série de mesures incomplètes ou bruitées.

Exemples d'applications

Le filtre de Kalman est utilisé dans une large gamme de domaines technologiques (radar, vision électronique, communication... ). C'est un thème majeur de l'automatique et du traitement du signal. Un exemple d'utilisation peut être la mise à disposition, en continu, d'informations telles que la position ou la vitesse d'un objet à partir d'une série d'observations relative à sa position, incluant peut-être des erreurs de mesures.

A titre d'exemple, pour le cas des radars où on désire suivre une cible, des données sur sa position, sa vitesse et son accélération sont mesurées à chaque instant mais avec énormément de perturbations dues au bruit ou aux erreurs de mesure. Le filtre de Kalman fait appel à la dynamique de la cible qui définit son évolution dans le temps pour obtenir de meilleures données, éliminant ainsi l'effet du bruit. Ces données peuvent être calculées pour le moment présent (filtrage), dans le passé (lissage), ou sur un horizon futur (prédiction).

Le filtrage de Kalman est aussi de plus en plus utilisé en dehors du domaine du traitement du signal, par exemple en météorologie et en océanographie, pour l'assimilation de données dans un modèle numérique, en finance ou en navigation et il est même utilisé dans l'estimation^[1] des états de trafic routier dans le cas de commande par rampe d'accès où le nombre de Boucles magnétiques sur la route est insuffisant..

Paternité

Le filtre de Kalman doit son nom à Rudolf Kalman quoique Thorvald Nicolai Thiele ^[2] et Peter Swerling aient développé un algorithme identique avant lui. La paternité du filtre fait l'objet d'une petite controverse dans la communauté scientifique. Le filtre a été décrit dans diverses publications par Swerling (1958), Kalman (^[3] 1960) et Kalman-Bucy (^[4] 1961).

Stanley Schmidt s'est vu consacré comme ayant réalisé la première implémentation du filtre. C'était lors d'une visite de Rudolf Kalman au NASA Ames Research Center qu'il vit le potentiel de son filtre pour l'estimation de la trajectoire pour le programme Apollo. Ceci conduisit à l'utilisation du filtre dans l'ordinateur de navigation.

Une grande variété de filtres de Kalman ont été, depuis, développés à partir de la formulation originale dite filtre de Kalman simple. Schmidt développa le filtre de Kalman étendu, Bierman, Thornton et bien d'autres développèrent toute une gamme de filtres racine carré. Le filtre le plus utilisé est probablement la phase-locked loop, beaucoup répandue dans les radios, ordinateurs, équipement de communication, etc.

Le filtre de Kalman

Le filtre de Kalman est un estimateur récursif. Cela veut dire que pour estimer l'état courant, seuls l'état précédent et les mesures actuelles sont nécessaires. L'historique des observations et des estimations n'est ainsi pas requis.

L'état du filtre est représenté par 2 variables :

$\hat{\textbf{x}}_{k|k}$ , l'estimation de l'état à l'instant k;
$\textbf{P}_{k|k}$ , La matrice de covariance de l'erreur (une mesure de la précision de l'état estimé).

Le filtre de Kalman a deux phases différentes : Prédiction et Mise à jour. La phase de prédiction utilise l'état estimé de l'instant précédent pour produire une estimation de l'état courant. Dans l'étape de mise à jour, les observations de l'instant courant sont utilisées pour corriger l'état prédit dans l'objectif d'obtenir une estimation plus précise.

Prédiction

$\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k-1|k-1} + \textbf{B}_{k} \textbf{u}_{k-1}$ (état prédit)

$\textbf{P}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k} \textbf{P}_{k-1|k-1} \textbf{F}_{k}ˆ{T} + \textbf{Q}_{k}$ (estimation prédite de la covariance)

avec

$\textbf{F}_{k}$ : matrice qui relie l'état précédent k-1 à l'état actuel k
$\textbf{u}_{k}$ : entrée de commande
$\textbf{B}_{k}$ : matrice qui relie l'entrée de commande u à l'état x
$\textbf{P}_{k|k-1}$ : matrice d'estimation a priori de la covariance de l'erreur
$\textbf{P}_{k|k}$ : matrice d'estimation a posteriori de la covariance de l'erreur
$\textbf{Q}_{k}$ : matrice de covariance du bruit de process

Mise à jour

$\tilde{\textbf{y}}_{k} = \textbf{y}_{k} - \textbf{H}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$ (innovation)

$\textbf{S}_{k} = \textbf{H}_{k}\textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_{k}ˆ{T}+\textbf{R}_{k}$ (covariance de l'innovation)

$\textbf{K}_{k} = \textbf{P}_{k|k-1}\textbf{H}_{k}ˆ{T}\textbf{S}_{k}ˆ{-1}$ (gain de Kalman optimal)

$\hat{\textbf{x}}_{k|k} = \hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{K}_{k}\tilde{\textbf{y}}_{k}$ (état mis à jour)

$\textbf{P}_{k|k} = (I - \textbf{K}_{k} \textbf{H}_{k}) \textbf{P}_{k|k-1}$ (covariance mise à jour)

avec

$\textbf{y}_{k}$ : observation ou mesure du process à l'instant k
$\textbf{H}_{k}$ : matrice qui relie l'état $\textbf{x}_{k}$ à la mesure $\textbf{y}_{k}$
$\textbf{R}_{k}$ : matrice de covariance du bruit de mesure
$I$ : matrice identité aux dimensions correctes

La formule de la mise à jour de la covariance est valide seulement pour un gain de Kalman optimal. L'utilisation d'autres valeurs de gains nécessite des formules plus complexes.

Le filtre d'Information

Dans le filtre de l'information, la covariance et l'état estimés sont respectivement remplacés par la matrice d'information et le vecteur d'information. Ils sont définis par :

$\textbf{Y}_{k|k} \equiv \textbf{P}_{k|k}ˆ{-1}$

$\hat{\textbf{y}}_{k|k} \equiv \textbf{P}_{k|k}ˆ{-1}\hat{\textbf{x}}_{k|k}$

De même, la covariance et l'état prédits ont les formes d'information équivalentes, définies par :

$\textbf{Y}_{k|k-1} = \textbf{P}_{k|k-1}ˆ{-1}$

$\hat{\textbf{y}}_{k|k-1} = \textbf{P}_{k|k-1}ˆ{-1}\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$

La covariance et le vecteur de mesure sont définis par :

$\textbf{I}_{k} = \textbf{H}_{k}ˆ{T} \textbf{R}_{k}ˆ{-1} \textbf{H}_{k}$

$\textbf{i}_{k} = \textbf{H}_{k}ˆ{T} \textbf{R}_{k}ˆ{-1} \textbf{z}_{k}$

La mise à jour de l'information devient désormais une somme triviale :

$\textbf{Y}_{k|k} = \textbf{Y}_{k|k-1} + \textbf{I}_{k}$

$\hat{\textbf{y}}_{k|k} = \hat{\textbf{y}}_{k|k-1} + \textbf{i}_{k}$

L'avantage principal du filtre de l'information est que N mesures peuvent être filtrées à chaque instant simplement en additionnant leurs matrices et vecteurs de l'information.

$\textbf{Y}_{k|k} = \textbf{Y}_{k|k-1} + \sum_{j=1}ˆN \textbf{I}_{k,j}$

$\hat{\textbf{y}}_{k|k} = \hat{\textbf{y}}_{k|k-1} + \sum_{j=1}ˆN \textbf{i}_{k,j}$

Pour prédire le filtre d'information, la matrice et le vecteur d'information peuvent être convertis de nouveau à leurs équivalents de l'espace d'état ou, alternativement, la prédiction de l'espace d'information est parfois utilisée.

$\textbf{M}_{k} = [\textbf{F}_{k}ˆ{-1}]ˆ{T} \textbf{Y}_{k|k} \textbf{F}_{k}ˆ{-1}$

$\textbf{C}_{k} = \textbf{M}_{k} [\textbf{M}_{k}+\textbf{Q}_{k}ˆ{-1}]ˆ{-1}$

$\textbf{L}_{k} = I - \textbf{C}_{k}$

$\textbf{Y}_{k|k-1} = \textbf{L}_{k} \textbf{M}_{k} \textbf{L}_{k}ˆ{T} + \textbf{C}_{k} \textbf{Q}_{k}ˆ{-1} \textbf{C}_{k}ˆ{T}$

$\hat{\textbf{y}}_{k|k-1} = \textbf{L}_{k} [\textbf{F}_{k}ˆ{-1}]ˆ{T}\hat{\textbf{y}}_{k|k}$

Noter aussi que F et Q doivent être inversibles.

Les filtres non-linéaires

Le filtre de Kalman est limité aux dispositifs linéaires. Cependant, la majorité des dispositifs physiques sont non linéaires. La non-linéarité peut être associée au modèle du processus, au modèle d'observation ou bien à l'ensemble des deux.

Filtre de Kalman étendu

Dans le filtre de Kalman étendu (FKE), les modèles d'évolution et d'observation n'ont pas besoin d'être des fonctions linéaires de l'état mais peuvent à la place être des fonctions (différentiables).

$\textbf{x}_{k} = f(\textbf{x}_{k-1}, \textbf{u}_{k}, \textbf{w}_{k})$

$\textbf{z}_{k} = h(\textbf{x}_{k}, \textbf{v}_{k})$

La fonction f est parfois utilisée pour calculer l'état prédit à partir de l'état estimé précédent et , identiquement, la fonction h peut être employée pour calculer l'observation prédite de l'état prédit. Cependant, f et h ne peuvent pas être appliqués directement au calcul de la covariance : une matrice des dérivées partielles, la Jacobienne, est calculée.

À chaque instant, la Jacobienne est évaluée avec les états estimés courants. Ces matrices peuvent être employées dans les équations du filtre de Kalman. Ce processus linéarise principalement la fonction non linéaire autour de l'estimation courante.

Ceci donne les équations du filtre de Kalman étendu suivantes :

Prédiction

$\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} = f(\hat{\textbf{x}}_{k-1|k-1}, \textbf{u}_{k}, 0)$

$\textbf{P}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k} \textbf{P}_{k-1|k-1} \textbf{F}_{k}ˆ{T} + \textbf{Q}_{k}$

Mise à jour

$\tilde{\textbf{y}}_{k} = \textbf{z}_{k} - h(\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}, 0)$

$\textbf{S}_{k} = \textbf{H}_{k}\textbf{P}_{k|k-1}\textbf{H}_{k}ˆ{T} + \textbf{R}_{k}$

$\textbf{K}_{k} = \textbf{P}_{k|k-1}\textbf{H}_{k}ˆ{T}\textbf{S}_{k}ˆ{-1}$

$\hat{\textbf{x}}_{k|k} = \hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{K}_{k}\tilde{\textbf{y}}_{k}$

$\textbf{P}_{k|k} = (I - \textbf{K}_{k} \textbf{H}_{k}) \textbf{P}_{k|k-1}$

Où les matrices de transition et d'observation sont définies comme étant les Jacobiennes suivantes :

$\textbf{F}_{k} = \left . \frac{\partial f}{\partial \textbf{x} } \right \vert _{\hat{\textbf{x}}_{k-1|k-1},\textbf{u}_{k}}$

$\textbf{H}_{k} = \left . \frac{\partial h}{\partial \textbf{x} } \right \vert _{\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}}$

Remarque : la convergence de ce filtre n'est aucunement assurée car c'est une convergence locale. En réalité, il existe de nombreux exemples pour lesquels la convergence du filtre dépend de l'initialisation de l'état à l'instant d'origine.

Filtre de Kalman non-parfumé

Applications

Pilote automatique
Systèmes de localisation dynamique
Localisation construction de cartes simultanées (SLAM)
Système de positionnement par satellites

Voir aussi

Filtre particulaire

Références

Général

Introduction au filtre de Kalman. Notes de cours, exercices corrigés, sessions Matlab, (70 pages) Daniel Alazard, 2005

An introduction to the Kalman filter, (16 pages) Greg Welch and Gary Bishop, 2006

An introduction to the Kalman filter, (81 pages) Greg Welch and Gary Bishop, 2001

Gelb A., editor. Applied optimal estimation. MIT Press, 1974.

Harvey, A. C. Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter. Cambridge University Press, Cambridge, 1989.

Stengel, R. F., Optimal Control and Estimation Dover, 1994.

[JU97] Julier, Simon J. and Jeffery K. Uhlmann. "A New Extension of the Kalman Filter to nonlinear Systems. " In The Proceedings of ÆroSense : The 11th International Symposium on Ærospace/Defense Sensing, Simulation and Controls, Multi Sensor Fusion, Tracking and Resource Management II, SPIE, 1997.

Roweis, S, and Z Ghahramani. "A Unifying Review of Linear Gaussian Models. " Neural Computation Vol 11 No 2 (1999).

Simon, D. Optimal state estimation : Kalman, H-illimitéty, and nonlinear approaches. John Wiley & Sons, 2006. (Book web site at http ://academic. csuohio. edu/simond/estimation/)

Notes

↑ www. springerlink. com/index/M87W5148L57H0L46. pdf
↑ Steffen L. Lauritzen, Thiele : Pioneer in Statistics, Oxford University Press, 2002. ISBN 0-19-850972-3.
↑ Kalman, R. E. "A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, " Transactions of the ASME - Journal of Basic Engineering Vol. 82 : pp. 35-45 (1960).
↑ Kalman, R. E., Bucy R. S., "New Results in Linear Filtering and Prediction Theory", Transactions of the ASME - Journal of Basic Engineering Vol. 83 : pp. 95-107 (1961).

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