Filtre de Legendre

Le filtre de Legendre, aussi nommé filtre de Papoulis, du nom de son inventeur, ou encore filtre optimal a été conçu pour présenter à la fois une atténuation strictement monotone et une raideur maximale au voisinage de la fréquence de coupure.



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  • Filtres de Legendre. K (w2) =Ln (w2) ; L1 (w2) =w2, L2 (w2) =w4, L3 (w2) =3w6-3w4+w2; pente maximale à la fréquence de coupure. notes de cours Filtrage Numérique... (source : utc)
  • Correcteur phase ; Loi normale ; Polynôme Bessel ; Filtre réponse impulsion finie ; Polynôme Legendre ; Filtre Cauer ; Filtre Tchebychev ; Filtre... (source : cat.inist)

Le filtre de Legendre, aussi nommé filtre de Papoulis, du nom de son inventeur (1958), ou encore filtre optimal a été conçu pour présenter à la fois une atténuation strictement monotone (pas d'ondulation, à l'inverse des filtres de Tchebychev ou des filtres elliptiques) et une raideur maximale au voisinage de la fréquence de coupure.

Son formalisme mathématique, assez complexe (il nécessite à la fois de l'intégration et de la composition de polynômes) repose sur l'utilisation des polynômes de Legendre, d'où il tire son nom. Papoulis s'est appuyé sur des travaux antérieurs du mathématicien Bernstein.


Le graphique de gauche compare la réponse de trois filtres passe-bas polynomiaux d'ordre 7 (fc = 1 MHz). La partie gauche des courbes jusqu'à fc correspond à l'échelle de gauche, ensuite on passe à l'échelle de droite.

En bleu, la réponse d'un filtre de Butterworth, clairement la plus plate jusqu'à à peu près 0, 7 fc, suite à quoi elle commence à chuter, atteint 3 dB à fc puis continue à à peu près 40 dBV par octave. Le filtre de Legendre, tracé en rouge, possède une atténuation en bande passante plus importante jusqu'à à peu près 0, 8 fc, passe par différents paliers puis plonge brutalement au voisinage de la coupure. Asymptotiquement, il procure à peu près 20 dB supplémentaires d'atténuation comparé au filtre de Butterworth. Enfin, pour comparaison, en vert, la réponse d'un filtre de Tchebychev de type 1 d'ondulation 0, 1 dB. On voit particulièrement clairement l'ondulation en bande passante jusqu'à fc, où la courbe passe une dernière fois par 0, 1 dB, avant de plonger pour se stabiliser sur une pente presque parallèle à celle du filtre de Legendre (les deux filtres possèdent grosso modo la même atténuation hors bande).

Le filtre de Legendre est particulièrement peu utilisé à cause des difficultés inhérentes à son calcul. Son caractère monotone et sa bonne sélectivité en font néenmoins un candidat sérieux au remplacement des filtres de Butterworth à l'endroit où une coupure plus raide et une atténuation plus élevée sont nécessaires, sans pouvoir tolérer de l'ondulation en bande. En outre, sa fonction de transfert polynomiale sert à l'utiliser comme base dans le calcul de certaines structures dérivées.

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