Filtre en peigne

Un filtre en peigne est utilisée en traitement du signal pour ajouter une version retardée du signal à lui-même, provoquant des interférences destructives ou constructives.



Catégories :

Filtre

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Cette méthode sert à réaliser des filtres à réponse plus complexe avec.... Pour des valeurs de délais particulièrement petites, l'effet du filtre en peigne est ... (source : cours.musique.umontreal)
  • La réponse impulsionelle d'un filtre en peigne est un train d'impulsions espacées de manière équidistante à un intervalle analogue au temps du boucle.... (source : artesonoro)
  • Le filtre en peigne est le phénomène (avec les ondes stationnaires) le plus... réponse en fréquence sont effectuées au point M. Au point M les signaux sont ... (source : sd-1.archive-host)

Un filtre en peigne est utilisée en traitement du signal pour ajouter une version retardée du signal à lui-même, provoquant des interférences destructives ou constructives. La réponse en fréquence du filtre se présente sous la forme d'une série de pics régulièrement espacés, d'où le nom de «filtre en peigne». Le facteur de qualité équivalent (le pente du filtre) est extrêmement important.

Les filtres en peigne existent sous deux formes utilisant soit l'anticipation ou la rétroaction, selon la direction du signal ajouté au signal original. Les filtres peuvent être réalisés sous une forme discrète ou continue dans le temps.

Les filtres en peigne sont surtout utilisés pour traiter les signaux vidéo (anticrénelage, changement du taux d'échantillonnage, séparation de composantes) et audios (effets d'écho, flanger, synchronisation du son dans de grands espaces, etc. ). Ils peuvent aussi servir à rejeter (ou sélectionner) une fréquence parasite précise (réjection des harmoniques du secteur, ... ). Car les fréquences filtrées peuvent aisément être asservie à celle du signal à filtrer.

Des peignes de fréquence sont aussi développés[1] dans le domaine de l'optique et surtout des lasers, servant à mesurer des intervalles de temps et des fréquences lumineuses avec une précision particulièrement fortement perfectionnée ; la spectroscopie ultra-haute résolution permet déjà une mesure de la distance terre-lune avec une précision équivalent à l'épaisseur de 1/100 000e de cheveux. Cette précision devrait être portée à 10 millionièmes de cheveux[2].

Filtre discret avec anticipation

Structure du filtre avec anticipation
Réponse en intensité du filtre avec anticipation, selon plusieurs valeurs positives pour α
Réponse en intensité du filtre avec anticipation, selon plusieurs valeurs négatives pour α

La structure générale d'un filtre en peigne avec anticipation est présentée à droite. Elle peut être décrite avec l'équation différentielle suivante :

\ y[n] = x[n] + \alpha x[n-K]

K est la longueur du retard (mesurée en échantillons) et α est un facteur de gain appliqué au signal retardé. En prenant la transformée en Z des deux côtés de l'équation, on obtient :

\ Y(z) = (1 + \alpha zˆ{-K}) X(z)

La fonction de transfert se définit comme suit :

\ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = 1 + \alpha zˆ{-K} = \frac{zˆK + \alpha}{zˆK}

Réponse en fréquence

Pour obtenir la réponse en fréquence d'un dispositif discret exprimé dans le domaine Z, on effectue la substitution z = ejω. Le filtre avec anticipation devient :

\ H(eˆ{j \omega}) = 1 + \alpha eˆ{-j \omega K}

Via la formule d'Euler, la fréquence en réponse est :

\ H(eˆ{j \omega}) = \left[1 + \alpha \cos(\omega K)\right] - j \alpha \sin(\omega K)

La réponse en intensité, qui ignore la phase, se définit le plus souvent comme suit :

\ | H(eˆ{j \omega}) | = \sqrt{\Re\{H(eˆ{j \omega})\}ˆ2 + \Im\{H(eˆ{j \omega})\}ˆ2}

Dans le cas d'un filtre en peigne avec anticipation, la réponse en intensité est :

\ | H(eˆ{j \omega}) | = \sqrt{(1 + \alphaˆ2) + 2 \alpha \cos(\omega K)}

(1 + α2) est une constante, tandis que 2αcos (ωK) fluctue périodiquement. La réponse en magnitude du filtre en peigne est ainsi périodique.

Les graphiques à droite montrent la réponse en magnitude pour différentes valeurs de α et affichent clairement la périodicité. Des propriétés importantes peuvent être observées :

Interprétation en pôles et zéros

D'après la fonction de transfert du filtre avec anticipation :

\ H(z) = \frac{zˆK + \alpha}{zˆK}

on voit que le numérateur est nul quand zK = − α. Il existe K solutions, régulièrement espacées dans le cercle du plan complexe, ce sont les zéros de la fonction de transfert. Le dénominateur est à zéro quand zK = 0, donnant ainsi K pôles à z = 0. La représentation graphique des pôles et des zéros est :

Avec K = 8 et α = 0.5
Avec K = 8 et α = − 0.5

Filtre discret avec rétroaction

Structure du filtre avec rétroaction
Réponse en intensité du filtre avec rétroaction, selon plusieurs valeurs positives pour α
Réponse en intensité du filtre avec rétroaction, selon plusieurs valeurs négatives pour α

La structure générale d'un filtre en peigne avec rétroaction est présentée à droite. Elle peut être décrite avec l'équation différentielle suivante :

\ y[n] = x[n] + \alpha y[n-K]

En réarrangeant l'équation de façon à avoir l'ensemble des termes de y à gauche, et en appliquant une transformée en Z, on obtient :

\ (1 - \alpha zˆ{-K}) Y(z) = X(z)

La fonction de transfert est alors :

\ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1}{1 - \alpha zˆ{-K}} = \frac{zˆK}{zˆK - \alpha}

Réponse en fréquence

La substitution z = ejω dans l'expression du filtre en domaine Z, produit :

\ H(eˆ{j \omega}) = \frac{1}{1 - \alpha eˆ{-j \omega K}}

La réponse en magnitude est la suivante :

\ | H(eˆ{j \omega}) | = \frac{1}{\sqrt{(1 + \alphaˆ2) - 2 \alpha \cos(\omega K)}}

Comme pour l'autre filtre, la réponse est périodique (voir graphiques à droite). Le filtre avec rétroaction a des propriétés en commun avec la forme anticipative :

Cependant, il se différencie de l'autre filtre à cause de la présence d'un terme dans le dénominateur de la réponse en intensité :

Interprétation en pôles et zéros

D'après la fonction de transfert du filtre avec anticipation :

\ H(z) = \frac{zˆK}{zˆK - \alpha}

on voit que le numérateur est nul quand zK = 0, produisant ainsi K zéros à z = 0. Le dénominateur est nul quand zK = α, ce qui donne K solutions, régulièrement espacées sur le cercle complexe.

La représentation graphique des pôles et des zéros est :

Avec K = 8 et α = 0.5
Avec K = 8 et α = − 0.5

Filtres en peigne continus

Les filtres en peigne peuvent être continus dans le temps.

La forme avec anticipation se présente ainsi :

\ y(t) = x(t) + \alpha x(t - \tau)

La forme avec rétroaction se présente comme suit :

\ y(t) = x(t) + \alpha y(t - \tau)

avec τ représentant le délai (en secondes).

Les deux filtres ont respectivement les réponses en fréquence suivantes :

\ H(\omega) = 1 + \alpha eˆ{-j \omega \tau}
\ H(\omega) = \frac{1}{1 - \alpha eˆ{-j \omega \tau}}

Les versions continues partagent les mêmes propriétés que leurs équivalents discrets.

Filtrage vidéo

Les filtres en peigne permettent de séparer correctement les composantes d'un signal vidéo composite (luminance et chrominance). Selon le type de signal, la bande passante allouée pour chaque composante fluctue mais les deux plages se chevauchent partiellement (pour simplifier, la luminance est par exemple encodée sur les fréquences paires, et la chrominance sur les fréquences impaires). Pour séparer les bonnes fréquences et ne garder que la composante désirée, on peut utiliser un filtre en peigne qui va éliminer par exemple les fréquences impaires et ne garder que les fréquences paires. De la qualité du filtre va dépendre la qualité du signal après séparation. Le filtre n'est plus indispensable si le signal est transmis en S-Vidéo (les composantes sont transmises scindément).

Voir aussi

Liens externes

Bibliographie

Notes et références

  1. Exemple (Création d'un peigne de fréquences de longueur d'onde centrale accordable à partir d'ondes continues, par Benoit Barviau, Christophe Finot, Julien Fatome et Guy Millot ; 1 p)
  2. Colloque des sciences, 16 déc. 2005, Prix Nobel de Physique 2005 (PowerPoint)

Recherche sur Amazon (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Filtre_en_peigne.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu