Filtre linéaire

Un filtre linéaire est , en traitement du signal, un dispositif qui applique un opérateur linéaire à un signal d'entrée. Les filtres linéaires sont rencontrés le plus fréquemment en électronique, mais il est envisageable d'en trouver en mécanique ou dans d'autres technologies.

Classification

Réponse impulsionnelle

Réponse impulsionnelle est la sortie d'un dispositif dont l'entrée est une impulsion de Dirac (δ). Les filtres linéaires peuvent être divisés en deux groupes : les filtres à réponse impulsionnelle illimitée et les filtres à réponse impulsionnelle finie. Pour ceux à réponse impulsionnelle finie, la sortie du dispositif dépend seulement de l'entrée tandis que pour ceux à réponse impulsionnelle illimitée, la sortie du dispositif dépend à la fois de l'entrée et des sorties précédentes.

Réponse fréquentielle

Du point de vue fréquentiel, il existe plusieurs types courants de filtres linéaires :

• Les filtres passe-bas passent les basses fréquences et coupent les hautes
• Les filtres passe-haut passent les hautes fréquences et coupent les basses
• Les filtres passe-bande ne laissent passer qu'une bande de fréquence limitée
• Les filtres coupe-bande, à l'inverse, laissent passer l'ensemble des fréquences, sauf une bande spécifique
• Les filtres toutes-bandes n'atténuent aucune fréquence, mais altèrent leur phase.
• Certains filtres ne sont pas conçus pour arrêter une fréquence, mais pour modifier un peu le gain à différentes fréquences, comme les égaliseurs.

Types de filtres linéaires

Les filtres linéaires opèrent physiquement soit dans le domaine temporel (électricité, mécanique, son, ... ) soit dans le domaine spatial (traitement d'image). La description la plus parlante se situe dans le domaine fréquentiel car elle fait apparaître l'augmentcation et le déphasage d'une sinusoïde dont la fréquence est inchangée (c'est la caractéristique d'un dispositif linéaire) sous la forme de la fonction de transfert exprimée en fréquences. La transformation de Fourier fait passer au domaine temporel ou spatial dans lequel le filtre est représenté par sa réponse impulsionnelle (pour une présentation différente voir Système mécanique linéaire).

A côté des filtres analogiques respectant les traditions existent des filtres numériques dans lesquels la convolution avec le signal d'entrée numérisé utilise une matrice et non une fonction mathématique.

Les filtres spatiaux se distinguent généralement des filtres temporels par le fait qu'ils portent sur au moins deux variables.

Conception

Tout filtre linéaire est entièrement décrit par sa réponse fréquentielle et sa réponse de phase, liée à sa réponse impulsionnelle. Du point de vue mathématique, un filtre continu à réponse impulsionnelle illimitée peut être décrit en termes d'équations différentielles linéaires et sa réponse impulsionnelle comme la fonction de Green des équations. Il est aussi envisageable d'exprimer la fonction de transfert du filtre avec la transformée de Laplace de leur réponse impulsionnelle ; cette méthode permet d'analyser simplement le filtre en considérant les pôles et les zéros de la transformée de Laplace.

Avant la généralisation des outils informatiques de synthèse de filtre, les outils graphiques comme le diagramme de Bode ou le diagramme de Nyquist étaient beaucoup employés. Ils demeurent d'ailleurs une aide principale pour appréhender le comportement d'un filtre.

Différentes méthodes de conception de filtres analogiques ont été mises au point, chacune optimisant un point spécifique, comme pas exemple :

• Les filtres de Bessel
• Les filtres de Butterworth
• Les filtres elliptiques
• Les filtres de Tchebychev

Ces méthodes de conception décrivent les propriétés mathématiques du filtre (réponse en fréquence et en phase). Ils peuvent être implémentés, par exemple sous forme de circuits électroniques, par d'autres méthodes.

Voir aussi

• Conception de filtre
• Filtre non-linéaire
• Système linéaire

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