Filtre passe-haut

Un filtre passe-haut est un filtre qui laisse passer les hautes fréquences et qui atténue les basses fréquences, c'est-à-dire les fréquences inférieures à la fréquence de coupure.



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Filtre - Circuit électrique

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Image sur laquelle a été appliqué un filtre passe-haut (résultat à droite)

Un filtre passe-haut est un filtre qui laisse passer les hautes fréquences et qui atténue les basses fréquences, c'est-à-dire les fréquences inférieures à la fréquence de coupure. Il pourrait aussi être nommé filtre coupe-bas. Le filtre passe-haut est l'inverse du filtre passe-bas et ces deux filtres combinés forment un filtre passe-bande.

Le concept de filtre passe-haut est une transformation mathématique appliquée à des données (un signal). L'implémentation d'un filtre passe-haut peut se faire numériquement ou avec des composantes électroniques. Cette transformation a pour fonction d'atténuer les fréquences inférieures à sa fréquence de coupure fc et ce, dans l'objectif de conserver seulement les hautes fréquences. La fréquence de coupure du filtre est la fréquence séparant les deux modes de fonctionnement idéaux du filtre : bloquant ou passant.

Filtre parfait

Le filtre parfait est le filtre théorique capable de modifier de façon immédiate son gain (de 1 à 0 ou de 0 à 1, en échelle linéaire) à sa fréquence dite de coupure. Dans la réalité, un filtre possède sa fréquence de coupure au gain Gmax -3 dB et ensuite ce gain décroît de -n\times 20 dB par décade (filtre d'ordre n).

Filtre passe-haut analogique

Un filtre passe-haut peut être implémenté de façon analogique avec des composantes électroniques. Donc, ce genre de filtre s'applique sur des signaux continus en temps réel. Les composantes et la configuration du circuit fixeront les différentes caractéristiques du filtre, telles que l'ordre, la fréquence de coupure et son diagramme de Bode. Les filtres analogiques classiques sont du premier ou du second ordre. Il existe plusieurs familles de filtres analogiques : Butterworth, Tchebychev, Bessel, elliptique, etc. L'implémentation des filtres de même famille se fait le plus souvent en utilisant la même configuration de circuit, et ceux-ci possèdent la même forme de fonction de transfert, mais ce sont les paramètres de celle-ci qui changent, par conséquent la valeur des composantes du circuit électrique.

Filtre passe-haut du premier ordre

Un filtre passe-haut du premier ordre est caractérisé par sa fréquence de coupure fc et par son gain dans la bande-passante K. La fonction de transfert du filtre est obtenue en dénormalisant le filtre passe-bas normalisé en substituant ωn par ωc / ω ce qui donne la fonction de transfert suivante :

H(j \omega) = \frac{v_o}{v_i} = \frac {Kj \frac{\omega}{\omega_c}}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}

ω = 2πf
ωc = 2πfc


Le module et la phase de la fonction de transfert égalent à :

|H(\omega)| = |\frac{v_o}{v_i}|=\frac{K \frac{\omega}{\omega_c}}{\sqrt{1+\big(\frac{\omega}{\omega_c}\big)ˆ2}}


\phi(\omega) = \arg H(j \omega) =\frac{\pi}{2} - \arg(1+j\frac{\omega}{\omega_c})= \frac{\pi}{2} - \arctan(\frac{\omega}{\omega_c})

Il y a plusieurs méthodes pour implémenter ce filtre. Une réalisation active et réalisation passive sont ici présentées. K est le gain du filtre.

Circuit passif

Schéma d'un filtre passe-haut

La manière la plus simple de réaliser physiquement ce filtre est d'utiliser un circuit CR. Comme son nom l'indique, ce circuit est constitué d'un condensateur de capacité C et d'une résistance R. Ces deux éléments sont positionnés en série avec la source vi du signal. Le signal de sortie vo est récupéré aux limites de la résistance. Le circuit est semblable à celui du filtre passe-bas mais les positions de la résistance et du condensateur sont inversées. Pour retrouver la fonction de transfert de ce filtre, il faut travailler dans le domaine de Laplace en utilisant les impédances des éléments. Avec cette technique, le circuit devient un simple diviseur de tension, et on obtient :

 H(j \omega) = \frac{v_o}{v_i} = \frac {jRC\omega}{1+jRC\omega}

Dans cette équation, j est un nombre complexe, la racine carrée de -1, et ω est la pulsation du circuit ou fréquence radiale, exprimée en rad/s. Comme la fréquence de coupure d'un circuit RC est :

 f_c = \frac {1}{2\pi RC} ou \omega_c = \frac {1}{RC}


Ici ωc, la pulsation de coupure, est aussi la pulsation propre ωo du circuit, elle est aussi l'inverse de la constante de temps τ du circuit. Ainsi, on obtient bel et bien la fonction de transfert typique du filtre passe-bas du premier ordre.

On retrouve avec les grandeurs physiques observables utilisées dans les diagrammes de Bode :

Diagramme de Bode d'un filtre passe haut (système du 1er ordre)
 G_{dB}(\omega) = 20 \cdot \log |H(j\omega)| = -10 \cdot \log (1+({\frac{\omega_c}{\omega}})ˆ2)
 \phi(\omega) = \arg H(\omega) = - \arg(1+j\frac{\omega_c}{\omega})
=  \frac{\pi}{2} - \arctan(\frac{\omega}{\omega_c})

On peut distinguer alors deux situations parfaites :

G_{dB} \sim -20 \cdot \log (\frac{\omega_c}{\omega}) et \phi \simeq 90 (Le signal est filtré)
G_{dB} \simeq 0 et \phi \simeq 0 (Le filtre est passant)

On remarque que pour ω = ωc, on a GdB = -3 dB.

Applications

Un tel filtre est parfois utilisé dans une enceinte pour diriger les hautes fréquences vers un tweeter tout en bloquant les basses fréquences pouvant l'endommager. Les fréquences plus basses seront alors envoyées à un médium par l'intermédiaire d'un filtre passe-bas.

Les filtres passe-haut et passe-bas sont aussi utilisés dans le traitement d'images, pour réaliser des transformations dans le domaine fréquentiel.

En statistiques, des filtres passe-haut et passe-bas sont utilisés pour traiter les signaux d'une séries de données.

Voir aussi


Électromagnétisme | Électricité | Électronique | Électrotechnique | Électrochimie | Automatique | Traitement du signal
Types de filtres : Filtre passe-bas · Filtre passe-haut · Filtre passe-bande · Filtre coupe-bande
filtres linéaires : Filtre de Bessel · Filtre de Butterworth · Filtre de Tchebychev · Filtre elliptique
filtres numériques : Filtre à réponse impulsionnelle finie · Filtre à réponse impulsionnelle illimitée

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