Modulation d'amplitude

La modulation d'amplitude est une technique utilisée pour moduler un signal. Elle consiste en la multiplication du signal à moduler par un signal de fréquence plus élevée.



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Modulation analogique du signal

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La modulation d'amplitude est une technique utilisée pour moduler un signal. Elle consiste en la multiplication du signal à moduler par un signal de fréquence plus élevée.

La modulation d'amplitude

La modulation d'amplitude consiste à faire fluctuer l'amplitude d'un signal de fréquence élevée en fonction d'un signal de basse fréquence. Ce dernier est celui qui contient l'information à transmettre (voix, par exemple, recueillie par un microphone), le premier étant le signal porteur (qu'on nomme porteuse).

Le principe est simple : il repose sur la multiplication du signal porteur par le signal de basse fréquence (signal modulant) assujetti à un décalage (offset) judicieusement choisi.

Modulation du signal

Supposons que le signal modulant soit périodique, de pulsation ω=2πF :

\begin{matrix}v_m(t)&=&V_m\cos(\omega_mt)\end{matrix}

La porteuse est un signal de fréquence énormément plus élevée. Notons-la :

\begin{matrix}v_p(t)&=&V_p\cos(\omega_pt)\end{matrix}

Techniquement, la modulation s'effectue grâce à des circuits électroniques spécifiques : un multiplieur (de constante multiplicative k) et un additionneur :

Modulation d'amplitude figure 21.png
Figure 2.1.1.

Le signal de sortie est :

\begin{matrix}v_s(t)&=& v_p(t)+kv_p(t)v_m(t) \\ \ & =& v_p(t)[1+kv_m(t)] \\ \ & =& V_p[1+kV_m\cos(\omega_mt)]\cos(\omega_pt)\end{matrix}

Posons :

\begin{matrix}kV_m&=&m\end{matrix}

m est nommé indice de modulation. On a alors comme signal de sortie :

\begin{matrix}v_s(t)&=&V_p[1+m\cos(\omega_mt)]\cos(\omega_pt)\end{matrix}

On voit sur cette expression le terme constant de décalage (ici ramené à 1, mais en fait égal à Vp). L'indice de modulation devant rester inférieur (ou égal) à 1, sous peine de "sur-modulation" (voir ci-dessous).

Le signal modulé

Allure du signal

Cette expression du signal de sortie peut paraître bien abstraite. Regardons par conséquent à quoi ressemble le graphe de ce signal. Le signal de modulation vm (t) est de fréquence assez faible :

Modulation d'amplitude figure 2 1png
Figure 2.2.1.1

Le signal de la porteuse vp (t) est quant à elle de fréquence élevée. Ainsi, elle sera aisément diffusable (voir le paragraphe 1.2). Son allure est la suivante :

Modulation d'amplitude figure 2 1 png
Figure 2.2.1.2

Le signal modulé (ou signal de sortie) vs (t), a par conséquent cette allure (dans le cas où m=1/2)  :

Modulation d'amplitude figure 2 10png
Figure 2.2.1.3

Surmodulation

Si l'amplitude du signal modulant est supérieure au décalage (ceci peut arriver si on ajoute un offset avant la multiplication) la valeur correspondante de m est supérieure à 1. On parle de surmodulation. Le signal résultant étant alors de la forme (on parle de "battements")  :

Surmodulation.jpg

Spectre de fréquences

Le spectre de fréquences du signal modulé est un graphe nous présentant l'amplitude de chaque composante sinusoïdale du signal. En effet, tout signal périodique pouvant être décomposé en somme de fonctions sinusoïdales, le signal modulé est une somme de signaux sinusoïdaux, quoique l'expression que nous avions trouvée soit un produit.

Reprenons l'et linéarisons la :

\begin{matrix}v_s(t)&=&V_p[1+m\cos(\omega_mt)]\cos(\omega_pt) \\ \ & =&V_p\cos(\omega_pt)+V_pm\cos(\omega_mt)\cos(\omega_pt) \\ \ & =&V_p\cos(\omega_pt)+\frac{V_pm}{2}\cos((\omega_m+\omega_p)t)+\frac{V_pm}{2}\cos((\omega_m-\omega_p)t)\end{matrix}

Le spectre de fréquences est le suivant : (l'amplitude des raies secondaire est  \frac{V_pm}{2} )

Modulation d'amplitude figure 2 2png
Figure 2.2.2.1

En pratique, le signal modulant balaye une certaine plage de fréquences [fm1, fm2]. L'allure du spectre de fréquences sera la suivante :

Modulation d'amplitude figure 2 2 png
Figure 2.2.2.2

On voit par conséquent ici que pour que deux signaux ne se brouillent pas mutuellement, il faut que les spectres ne se superposent pas. Il faut par conséquent espacer suffisamment les fréquences des deux porteuses.

Démodulation

Une fois le signal reçu, il va falloir le démoduler pour pouvoir l'utiliser. On suppose que le signal reçu est de la forme :

\begin{matrix}v_s(t)&=&V_p[1+m\cos(\omega_mt)]\cos(\omega_pt)\end{matrix}

Considérons le circuit suivant :

Modulation d'amplitude figure 201.png
Figure 2.3.1

Les signaux vs (t) et v0 (t) sont appliqués aux deux entrées d'un multiplieur de constante k. v0 (t) est un signal dont la fréquence est synchronisée avec celle de la porteuse.

\begin{matrix}v_0(t)&=&V_0\cos(\omega_pt)\end{matrix}

Calculons U (t)  :

\begin{matrix}U(t)&=&kv_0(t)v_s(t) \\ \ &=&kV_0V_p[1+m\cos(\omega_mt)]\cosˆ2(\omega_pt) \\ \ & =&kV_0V_p[1+m\cos(\omega_mt)]\frac{1+\cos(2\omega_pt)}{2} \\ \ & =&\frac{kV_0V_p}{2}[1+m\cos(\omega_mt)+\cos(2\omega_pt)+\cos(2\omega_pt)m\cos(\omega_mt)] \\ \ & =&\frac{kV_0V_p}{2}[1+m\cos(\omega_mt)+\cos(2\omega_pt)+\frac{1}{2}m(\cos(2\omega_pt+\omega_mt)+cos(2\omega_pt-\omega_mt))]\end{matrix}

U (t) est par conséquent la somme de cinq signaux. U (t) va désormais passer dans un filtre passe bande de gain nul, dont les fréquences de coupures seront choisies autour des fréquences du son audible. Ainsi à la sortie du filtre, l'ensemble des composantes de fréquence trop faible ou trop élevées seront supprimées et il ne restera que le signal :

\begin{matrix}v_d(t)&=&\frac{kV_0V_pm}{2}\cos(\omega_mt)\end{matrix}

On a par conséquent le signal d'origine, l'amplitude étant différente. La démodulation est terminée !

Contraintes liées à ce type de modulation

En pratique, il sera impossible d'avoir un signal v0 (t) idéalement synchrone de la porteuse. En effet, les fluctuations de la fréquence, aussi minimes soient elles vont entrainer une détérioration du signal audible, nommée fading. La correction de ce problème passe par la mise en place d'une boucle à verrouillage de phase, qui permet d'ajuster au mieux la fréquence de v0 (t).

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