Stabilité des filtres linéaires

En électronique, un filtre électrique linéaire est une interconnexion de dipôles électriques linéaires, de sorte à modifier un signal.



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En électronique, un filtre électrique linéaire est une interconnexion de dipôles électriques linéaires (condensateur, résistance, ... ), de sorte à modifier un signal. On obtient ainsi un filtre linéaire.

Le signal à la sortie d'un tel montage est par conséquent transformé. De fait, on utilise ces filtres pour sélectionner certaines fréquences d'un signal, c'est-à-dire atténuer l'amplitude de certaines fréquences et peut-être augmenter d'autres. Afin de perfectionner la sélectivité des filtres, on utilise, en plus des dipôles passifs, des composants actifs tels les amplificateurs opérationnels.

Si un filtre électrique passif est toujours stable, l'ajout de composants actifs peut modifier ce comportement. En effet, ils injectent de la puissance dans le circuit, qui peut contrecarrer les pertes énergétiques et rendre le montage instable.

Exemple simple

Un signal électrique e (t) est appliqué aux deux extrémités d'un circuit composé d'une résistance et d'un condensateur reliés en série.

La résistance, R, et le condensateur, C, sont soumis à une tension e dépendant du temps.

On récupère un signal filtré aux limites de l'un des dipôles. A titre d'exemple, on peut noter s (t) la tension aux limites du condensateur. On peut établir l'équation différentielle liant s au signal d'entrée :

\frac{ds}{dt} + \frac{1}{RC} s =  \frac{1}{RC} e

À haute-fréquence, f \gg \frac{1}{RC}. Alors, s est négligeable devant RC \frac{ds}{dt}, et on peut en première approximation considérer que le signal de sortie est une primitive du signal d'entrée : on parle d'«intégrateur». Ce signal est cependant de très faible amplitude :

 s(t) = \frac{1}{RC} \int_0ˆt e(t) dt

À basse-fréquence, c'est au contraire la dérivée de s qui est négligeable. On se retrouve dans le cas quasi-stationnaire, et le signal passe totalement : s = e.

On parle de filtre «passe-bas», qui prive le signal de ses plus hautes fréquences.

Généralisation

On peut étendre ces résultats à plusieurs montages de ce type connectés les uns aux autres, on parle de montage «à 2 RC», puis «à 3 RC». On montre alors dans le premier cas :

 (RC)ˆ2 \cdot \frac{dˆ2s(t)}{dtˆ2} + 3RC \frac{ds(t)}{dt} + s(t) =  e(t)

et dans le second,

 (RC)ˆ3 \cdot \frac{dˆ3s(t)}{dtˆ3} + 6 (RC)ˆ2 \cdot \frac{dˆ2s(t)}{dtˆ2} + 5RC \frac{ds(t)}{dt} + s(t) =  e(t) .

Dans les deux cas, c'est un filtre «passe-bas», mais d'ordre respectivement 2 et 3.

On peut former, dans le cas d'un circuit «à 3 RC», former un oscillateur en bouclant le dispositif de sorte que e= -29. s, c'est un oscillateur «quasi-sinusoïdal» :

 s(t) = A \cdot cos( 2 \pi f t+ \varphi).

La fréquence des oscillations est

f = \frac{\sqrt{5}}{RC} .

L'amplitude du signal est en réalité bornée, par des effets non-linéaires, qui ne sont pas pris en compte dans cette étude simplifiée.

Stabilité d'un filtre

La stabilité d'un filtre électrique linéaire d'ordre n se ramène en réalité à l'étude des racines d'un polynôme à cœfficients réels positifs de degré n, dit «polynôme caractéristique» de l'équation différentielle.

On dit qu'un filtre est stable si, quand le signal d'entrée est constant, le signal de sortie atteint - peut-être après un temps d'induction - une valeur constante.

Pour qu'un filtre soit stable, il faut et suffit que les n racines complexes de ce polynôme aient une partie réelle négative, il s'agit alors d'un polynôme de Hurwitz.

Par conséquent, l'étude des racines d'un polynôme à cœfficients réels a fait l'objet d'études approfondies depuis Descartes, puis en particulier Charles Sturm, Routh et Hurwitz, puis Jury et Fujiwara pour les filtres numériques (c'est-à-dire non analogiques) qui sont ceux de l'électronique moderne.

Cas d'une équation d'ordre 2

Le polynôme caractéristique peut être écrit :

ax2 + bx + c.

C'est un polynôme de Hurwitz si a, b et c sont positifs. Par convention, on choisit c positif, sans restriction de généralité.

On peut interpréter cela comme un bilan énergétique : pour un circuit RLC, on trouve :

Ces termes ne sont pas sans rapport avec l'énergie magnétique due à l'induction, 1/2 L I², l'énergie électrique due au condensateur, 1/2 q²/C, et l'énergie thermique dissipée par effet Joule au travers de la résistante : R I².

Cas d'une équation d'ordre 3

Le cas d'une équation de troisième ordre demande une condition plus subtile : ax3 + bx2 + cx + d Ce polynôme est de Hurwitz ssi :

On peut interpréter le cœfficient d > 0 comme une résistance négative dépendant de la fréquence (FDNR), qui injecte dans le circuit la puissance Dω2I2. Alors, si bc \geq ad, I n'est plus bornée, le filtre est instable.

C'est cela qui explique le cœfficient 29 de l'oscillateur quasi-sinusoïdal donné en exemple, qui garantit la stabilité de ce dernier.

Bibliographie

Notes


Voir aussi



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