Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon

Le théorème de Nyquist-Shannon, appelé selon Harry Nyquist et Claude Shannon, décrit que la fréquence d'échantillonnage d'un signal doit être égale ou supérieure au double de la fréquence maximale contenue dans ce signal, pour convertir ce...



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Le théorème de Nyquist-Shannon, appelé selon Harry Nyquist et Claude Shannon, décrit que la fréquence d'échantillonnage d'un signal doit être égale ou supérieure au double de la fréquence maximale contenue dans ce signal, pour convertir ce signal d'une forme analogique à une forme numérique. Ce théorème est à la base de la conversion numérique des signaux.

La meilleure illustration de l'application de ce théorème est la détermination de la fréquence d'échantillonnage d'un CD audio, qui est de 44, 1 kHz. En effet, l'oreille humaine peut capter les sons jusqu'à 16 kHz, parfois jusqu'à 22 kHz. Il convient par conséquent, lors de la conversion, d'échantillonner le signal audio à au moins 44 kHz. 44, 1 kHz est la valeur normalisée par l'industrie.

Considérations élémentaires

Si on veut utiliser un signal échantillonné, il faut être sûr que ce dernier contienne toute l'information du signal analogique d'origine. Il est fréquemment commode de considérer ce dernier comme une somme de sinusoïdes (cf analyse spectrale). Or il est intuitivement évident qu'une perte d'information se produit si le pas d'échantillonnage est trop grand par comparaison avec les périodes en cause, la fréquence d'échantillonnage étant trop faible comparé aux fréquences reconnues.

Exemple echantillonnage de deux signaux.png

Soit un signal sinusoïdal d'amplitude a et de fréquence f :

x(t) = a \cos(2\pi f t)\,

En l'échantillonnant avec un pas T soit une fréquence 1/T on obtient la suite de valeurs numériques

x_n = a \cos(2\pi n f T)\,

Considérons désormais le signal d'amplitude b et de fréquence 1/T - f :

\textstyle y(t) = b \cos\left(2\pi\left(\frac1T - f\right)t\right)

Une fois échantillonné à la même fréquence, il devient

\textstyle y_n = b\cos\left(2\pi n\left(\frac1T - f\right)T\right) = b \cos\left(2\pi n\left(1 - f T\right)\right)\,

La trigonométrie élémentaire conduit à

y_n = b \cos(2\pi n f T)\,

Ainsi, dans la somme xn + yn, il est impossible de distinguer ce qui appartient au signal de fréquence f ainsi qu'à celui de fréquence 1/T - f. Ce résultat conduit à l'effet de crènelage, repli de spectre ou encore aliasing, qui indique qu'on prend une sinusoïde pour une autre (alias).

Si la plus haute fréquence d'un signal est fM, la fréquence 1/T - fM ne doit pas appartenir au spectre du signal, ce qui conduit à l'inégalité :

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Précisions

Transformee Fourier signal continu.png

On peut interpréter le résultat précédent en considérant un signal transitoire x (t), par conséquent pourvu d'une transformée de Fourier X (f).

Transformee Fourier signal correctement echantillonne.png

Considérons la fonction obtenue en multipliant le signal x (t) par un peigne de Dirac, somme de deltas d'intensité T distants de T.

xˆ*(t) = T x(t) \cdot \delta_T (t)\,

la transformée de Fourier de x* (t) est la convolution de la TF de x (t) par la TF du peigne de dirac :

Xˆ*(f) = X(f) \ast  \sum_{n=-\infty}ˆ{\infty} \delta(f - \frac{n}{T})

Le dirac étant l'élement neutre de la convolution, on obtient :

Xˆ*(f) =  \sum_{n=-\infty}ˆ{+\infty} X(f - n/T)
Transformee Fourier signal incorrectement echantillonne.png

Le rapprochement des deux résultats montre que le calcul de la transformée d'un signal échantillonné au pas T par la méthode des rectangles donne la somme de la transformée vraie et de l'ensemble des translatées de celle-ci avec un pas égal à la fréquence d'échantillonnage 1/T.

Toute l'information utile est contenue dans l'intervalle [-1/ (2T), 1/ (2T) ].

Si les fréquences présentes dans le signal ne débordent pas de cet intervalle, c'est-à-dire si la fréquence d'échantillonnage est supérieure au double de la plus haute fréquence, on obtient la transformée vraie. Dans le cas opposé, les translatées voisines viennent se superposer. Ce phénomène est nommé "recouvrement du spectre"

Du fait de la symétrie, tout se passe comme si le spectre vrai était replié (l'énergie associée aux fréquences supérieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage est transférée en dessous de cette fréquence). Si on veut éviter le franglais on utilise généralement le terme repliement plutôt à aliasing.

Ces résultats s'appliquent sans modification à un signal à variance finie.

Formule de Shannon

Puisque la transformée X* (f) du signal correctement échantillonné contient, dans l'intervalle [-½T, ½T], la transformée du signal d'origine x (t), on peut reconstituer ce dernier en calculant la transformée inverse, l'intégration étant bornée à cet intervalle.

On obtient ainsi

x(t) = \sum_{n=-\infty}ˆ{+\infty} x(n T) \cdot
\frac{\sin\left(\frac\pi T(t - nT)\right)}{\frac\pi T(t - nT)}

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
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