Transformée de Fourier discrète

La transformée de Fourier discrète est un outil mathématique de traitement du signal numérique, qui est l'équivalent discret de la transformée de Fourier continue qui est utilisée pour le traitement du signal analogique.



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La transformée de Fourier discrète (TFD) est un outil mathématique de traitement du signal numérique, qui est l'équivalent discret de la transformée de Fourier continue qui est utilisée pour le traitement du signal analogique.


En anglais on parle de Discrete Fourier Transform (DFT) qu'on a tendance à confondre avec la Fast Fourier Transform (FFT).

La FFT n'est en fait qu'un algorithme de calcul rapide de la TFD.


Sa définition mathématique pour un signal s de N échantillons est la suivante :

S(k) = \sum_{n=0}ˆ{N-1}s(n)\cdot eˆ{-2 i \pi k \frac{n}{N}} \qquad pour \qquad  0 \leq k < N


La transformée inverse est donnée par :

s(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}ˆ{N-1}S(k)\cdot eˆ{2 i \pi n \frac{k}{N}}

On obtient ainsi une représentation spectrale discrète du signal échantillonné s (n) .


Il est important de comprendre que la TFD ne calcule pas le spectre continu d'un signal continu.

La TFD permet uniquement d'évaluer une représentation spectrale discrète (spectre échantillonné) d'un signal discret (signal échantillonné) sur une fenêtre de temps finie (échantillonnage borné dans le temps).


L'exemple ci-dessous fait croire que la TFD sert à calculer le spectre d'un signal continu, mais cela n'arrive que lorsque la fenêtre d'échantillonnage correspond à un multiple strictement supérieur à 1 de la période du signal échantillonné (dans ce cas on a nécessairement évité le repliement de spectre)  :

Figure 1 : Transformée de Fourier discrète sur N = 64 points d'un sinus de fréquence 7812, 5 Hz échantillonné à 100 000 échantillons par seconde (100 kéch/s).

Ces définitions ne sont pas uniques : on peut particulièrement normer la TFD par 1 / N, et ne pas normer la TFD inverse, ou encore normer les deux par \tfrac{1}{\sqrt{N}}, l'objectif étant dans l'ensemble des cas de retrouver le signal originel par la TFD inverse de sa TFD.

La TFD correspond à l'évaluation sur le cercle unité de la transformée en Z pour des valeurs discrète de la fréquence.

Fréquence d'échantillonnage et interpolation

On peut remarquer que ce signal est périodique de période N, et renseigne sur les fréquences comprises entre Fe / 2 et Fe / 2, Fe étant la fréquence d'échantillonnage fréquemment noté fs dans la littérature anglo-saxonne. On n'a par conséquent que N points pour analyser le spectre, et il peut être intéressant d'augmenter ce nombre de points afin d'augmenter sa résolution spectrale (δF = Fe / N) et par conséquent de mieux localiser les maxima de son spectre (un signal de fréquence non multiple de Fe / N ne sera pas vue après TFD. Il y a alors perte d'information).

Pour augmenter le nombre de points, on peut :

Cela se fait par la technique du bourrage de zéros (en anglais zero-padding), qui consiste à compléter le signal s (n) par P zéros. La nouvelle définition devient :

S(k) = \sum_{n=0}ˆ{N+P-1}s(n)\cdot eˆ{-2 i \pi k \frac{n}{N+P}} = \sum_{n=0}ˆ{N-1}s(n)\cdot eˆ{-2 i \pi k \frac{n}{N+P}}

On somme toujours les mêmes valeurs de s (n) (les P autres étant nulles), mais on obtient une TFD de période N + P au lieu de simplement N : on a P points supplémentaires pour décrire la même TFD, on a par conséquent augmenté sa résolution. Cette technique est surtout utilisée pour avoir un nombre de points total N + P en puissance de deux, et pouvoir utiliser un algorithme de transformée de Fourier rapide.

On peut, de la même manière, faire du bourrage de zéros sur le spectre afin d'obtenir, par transformée inverse, une interpolation sur le signal d'origine.

On considère ici toujours une fréquence d'échantillonnage de 1. En parlant en fréquences réduites (normalisées comparé à la fréquence d'échantillonnage), la TFD est décrite pour des valeurs de la fréquence réduite variant entre 0 (pour k = 0) et 1 (pour k = N + P).

Signaux réels

Pour un signal réel, on a la relation

 S(k)ˆ* = S(-k)∼

(propriété de symétrie hermitienne). Quand on s'intéresse au spectre d'un signal, on élève le module de sa TFD au carré : le spectre est par conséquent pair.

Or, on a vu que la TFD est périodique, de période N + P : les fréquences \tfrac{N+P}{2} et N + P sont les mêmes que celles comprises entre -\tfrac{N+P}{2} et 0. Les fréquences négatives étant semblables aux positives, toute l'information spectrale est contenue entre les fréquences \tfrac{N+P}{2} et N + P.

Applications

La TFD est utilisée dans un large spectre d'applications, seuls les plus communs sont listés ici. Toutes ces applications nécessitent l'existence d'un algorithme rapide de calcul de la TFD et de son inverse, voir à ce sujet les méthodes de transformée de Fourier rapide.

Analyse spectrale

L'analyse spectrale des signaux est un élément essentiel en électronique pour de nombreuses raisons parmi lesquelles on peut citer :

L'électronicien qui a toujours besoin de vérifier expérimentalement, a besoin d'un outil de mesure, l'analyseur de spectre. Il existe trois grandes familles d'analyseur de spectre, chacun ayant des caractéristiques intrinsèques :

L'analyseur de spectre à balayage (analogique)

Comme son nom l'indique, cet analyseur balaye une plage de fréquence en utilisant un filtre de largeur réglable. Il est capable de mesurer des plages de fréquence allant de l'audio à l'optique et ce pour des signaux d'amplitude particulièrement faible.

L'analyseur de spectre à FFT (numérique)

La FFT (Fast Fourier Transform ou transformée de Fourier rapide) est ici utilisé après échantillonnage du signal d'entrée basses fréquences (audio). Avantage : il est capable de capturer les signaux en temps réel avec une résolution spectrale particulièrement fine qui dépend du nombre de points N et de la fenêtre de pondération utilisée.

L'augmentation de la rapidité et de la résolution des convertisseurs analogique numérique permettra d'analyser des signaux à des fréquences de plus en plus élevées.

L'analyseur de signaux vectoriel (analogique/numérique)

Comme il combine les technologies des deux premiers (balayage et FFT), ils permet d'analyser des signaux dont les fréquences ne sont scindées que de quelques mHz sur toute la gamme de fréquences radio. Particulièrement utilisé dans le domaine des transmissions numériques pour analyser des signaux complexes (QAM, QPSK, )

Environnement de développement

Quelques fabricants proposent une version gratuite mais limitée de leurs outils.

Éditeur Produit Licence Remarques
Dolphin Integration SMASH[1] Propriétaire, gratuite Simulateur SMASH Discovery gratuit (outil FFT + tutoriel)

SMASH sert à calculer la FFT sur des signaux temps discret (signaux numériques), ou sur des signaux temps continu (signaux analogiques) qui sont alors échantillonnés.

La version gratuite de SMASH sert à se familiariser avec la FFT.

L'extrait suivant est issu du tutoriel gratuit téléchargeable depuis ce lien : SMASH tutorials.

Figure 2 : TFD de deux sinus de fréquences 2 KHz (en haut) et 1.975 KHz (en bas) échantillonnées à 20 KHz sur N = 400 points qui met en évidence le problème de fuite spectrale (en bas).

Notes et références

Compression de données

Le traitement du signal généralement utilise beaucoup les opérations dans le domaine fréquentiel et surtout la TFD ou une de ses variantes. En compression du son ou de l'image, des transformées proches de la TFD (par exemple la transformée en cosinus discrète) sont appliquées généralement sur des portions de signal, pour diminuer la complexité. Les cœfficients S (k) sont ensuite quantifiés avec des pas de quantification plus élevés pour les hautes fréquences, qui sont reconnues comme négligeables pour la vision humaine. Le gain en compression vient de la réduction de précision de ces cœfficients (voire leur suppression totale) qui nécessitent alors moins de bits pour être codés. Il s'ensuit le plus souvent une étape de codage entropique. La reconstruction du signal s'effectue alors à partir de cet ensemble réduit de cœfficients quantifiés.

Exemple : Sur la figure 1, il est facile d'observer que le traitement temporel du signal sans perte d'information, nécessite de mémoriser 64 échantillons tandis que le traitement fréquentiel n'en nécessite qu'un seul point (en rappelant que les deux raies portent la même information). Et il n'y a pas de perte.

Équations aux dérivées partielles

Multiplication de grands nombres entiers

Certains des algorithmes les plus rapides pour la multiplication de grands nombres entiers sont basés sur la TFD. Les séquences de chiffres sont interprétées comme les éléments d'un vecteur, dont on calcule la convolution. On calcule pour cela leur TFD, qui sont multipliées entre elles (une convolution en temps est un produit en fréquence) puis on effectue la TFD inverse.

Analyse de séries temporelles

La TFD est utilisée pour l'étude des séries temporelles (ou chronologiques) où l'objectif est de trouver des corrélations entre deux séquences de données. Un exemple classique est l'analyse des cours de la bourse, pour repérer des évenements spécifiques. La problématique est généralement celle de la fouille de données, ou de la recherche par similarité. La TFD est utilisée ici comme un moyen de diminuer la dimensionnalité du problème. La TFD permet en effet de décorréler les données de départ et de ne travailler que sur un petit nombre de cœfficients significatifs.

Quelques TFD de signaux classiques

Quelques signaux et leur TFD
x_k=\frac{1}{N}\sum_{n=-N/2}ˆ{(N/2)-1}X_n \cdot eˆ{i 2 \pi kn/N} X_n=\sum_{k=0}ˆ{N-1}x_k \cdot eˆ{-i 2 \pi kn/N} Note
x_k \cdot eˆ{i 2 \pi kn/N} \, X_{k-n}\, Propriété de translation
x_{k-n}\, X_n \cdot eˆ{-i 2 \pi kn/N}
x_n \in \mathbb{R} X_n=X_{N-n}ˆ*\, TFD d'un signal réel
aˆk\, \frac{1-aˆN}{1-a \cdot eˆ{-i 2 \pi n/N} }  
{N-1 \choose k}\, \left(1+eˆ{-i 2 \pi n/N} \right)ˆ{N-1}\,  

Références

Voir aussi

Recherche sur Amazon (livres) :



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