Transformée en Z

La transformée en Z est un outil mathématique de traitement du signal, qui est l'équivalent discret de la transformée de Laplace.



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La transformée en Z est un outil mathématique de traitement du signal, qui est l'équivalent discret de la transformée de Laplace.

Elle est utilisée entre autres pour le calcul de filtres numériques à réponse impulsionnelle illimitée et en automatique pour modéliser des systèmes dynamiques de manière discrète.

La transformée de Fourier discrète est un cas spécifique de la transformée en Z.

Définition

Sa définition mathématique est la suivante : la transformation en Z est une application qui transforme une suite s (définie sur les entiers) en une fonction S d'une variable complexe appelée z, telle que

S(z) = \mathcal{Z}\{s(n)\} =\sum_{n=-\infty}ˆ{+\infty}s(n)zˆ{-n},\quad z \in \{z\in\mathbb{C}|\sum_{n=-\infty}ˆ{+\infty}s(n)zˆ{-n} \quad converge\}

La variable n représente généralement le temps discrétisé, la variable complexe z ne représente rien de spécifique, c'est une création purement abstraite. Quand on travaille sur s (n) on dit qu'on est dans le domaine temporel, quand on travaille sur S (z) le domaine est nommé fréquentiel par ressemblance avec la transformée de Fourier, mais strictement parlant on est dans un domaine idéalement abstrait.

Si \forall n<0,\ s(n)=0, on parle de signal causal. Inversement, si <img class=

Existence de la transformée en Z

Le domaine de convergence est le sous-ensemble de \mathbb{C} dans lequel la série converge.
C'est à dire, le domaine de convergence de la transformée en z de la suite (x_{n})_{n\in\mathbb{Z}} est la totalité :

\left\{z\in\mathbb{C} | \sum_{n=-\infty}ˆ{\infty}x_{n}zˆ{-n} \quad\mathrm{existe}\right \}

On l'appelle aussi couronne de convergence. En effet, en posant z=\rho eˆ{i\theta}∼, il vient :

|S(z)|=\left| \sum_{n=-\infty}ˆ{\infty}x_{n}zˆ{-n}\right|\leqslant \sum_{n=-\infty}ˆ{\infty}\left|x_{n}\right|\rhoˆ{-n}

Donc S (z) existe si xn a une croissance au plus exponentielle, auquel cas le domaine de convergence est compris dans une couronne :

- de petit rayon le majorant de la base du côté des n négatifs
- de grand rayon le majorant de la base du côté des n positifs

Dans toute la suite de l'article, les transformées en Z ne seront valables que dans ce domaine de convergence sans que cela soit reprécisé.

Propriétés de la transformée en Z

Linéarité

La transformée en Z d'une combinaison linéaire de deux signaux est la combinaison linéaire des transformées en Z de chaque signal.

\mathcal{Z}\{a_1 x_1(n) + a_2 x_2(n)\} = a_1 \mathcal{Z}\{x_1(n)\} + a_2 \mathcal{Z}\{x_2(n)\}  \

Décalage temporel

Le décalage temporel d'un signal de k échantillons se traduit par la multiplication de la transformée en Z du signal par z−k.

\mathcal{Z}\{x(n-k)\} = zˆ{-k}\mathcal{Z}\{x(n)\} \

Convolution

La transformée en Z d'un produit de convolution est le produit des transformées en Z

\mathcal{Z}\{x(n) * y(n)\} = \mathcal{Z}\{x(n)\} \mathcal{Z}\{y(n)\} \

Multiplication par une exponentielle

\mathcal{Z}\{aˆ{n}x(n)\} = X\left(\frac{z}{a}\right)

Multiplication par la variable d'évolution

De façon générale :

\mathcal{Z}\{nˆ{k}x(n)\} = \left(-z \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}z}\right)ˆ{k}\mathcal{Z}\{x(n)\}\

\textstyle\left(-z \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}z}\right)ˆ{k}\mathcal{Z}\{x(n)\} veut dire qu'on applique k fois à \mathcal{Z}\{x(n)\} l'opérateur \textstyle -z\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}z}

Si on écrit cette formule au rang k=1, on obtient la formule de dérivation :

\mathcal{Z}\{nx(n)\} = -z \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}z}X(z)\

Théorème de la valeur initiale

Soit x(n)\, un signal causal et X(z)\, sa transformée en Z. Alors :

x(0) = \lim_{n \to 0}x(n)=\lim_{z \to +\infty}X(z)

Théorème de la valeur finale

Soit x(n)\, un signal causal et X(z)\, sa transformée en Z. Tandis quand la limite existe, on peut écrire :

\lim_{n \to +\infty}x(n)=\lim_{z \to 1}(z-1)X(z)

Transformée en Z inverse

La transformée en Z inverse est donné par :

 x(n) = \mathcal{Z}ˆ{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) zˆ{n-1}\mathrm dz \

C est un chemin fermé parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et appartenant entièrement au domaine de convergence.

En pratique, ce calcul s'effectue fréquemment à l'aide du théorème des résidus et la formule devient dans le cas d'un signal causal :

x(n) = \sum_{
z_i={\rm p\hat{o}les\; de\; } zˆ{n-1}X(z)
}
\operatorname{Res}\{zˆ{n-1}X(z)\}_{z=z_i}\,

Relation avec les autres transformées

Transformée de Laplace

La transformée en Z est simplement la transformée de Laplace d'un signal discret en effectuant la substitution :

 z \equiv eˆ{p T} \

T = \tfrac1{f_s} est la période d'échantillonnage (en unité de temps i. e. secondes) et  f_s \ est la fréquence d'échantillonnage (en échantillon par seconde ou hertz)

Pour démontrer cela, posons :

 q(t) \equiv \sum_{n=-\infty}ˆ{\infty}  \delta(t - n T)

qui est un peigne de Dirac et

\begin{align} x_q(t) &\equiv x(t) q(t) = x(t) \sum_{n=-\infty}ˆ{\infty}  \delta(t - n T)  \\
& = \sum_{n=-\infty}ˆ{\infty} x(n T) \delta(t - n T) = \sum_{n=-\infty}ˆ{\infty} x[n] \delta(t - n T) \end{align}

qui est la représentation en temps continu du signal  x(t) \ échantillonné et où  x[n] \equiv x(nT) \ sont les échantillons de  x(t) \ .

La transformée de Laplace du signal échantillonné  x_q(t) \ est :

\begin{align}X_q(s) &= \int_{0ˆ-}ˆ{\infty} x_q(t) eˆ{-p t} \, \mathrm dt \\
 &= \int_{0ˆ-}ˆ{\infty} \sum_{n=-\infty}ˆ{\infty} x[n] \delta(t - n T) eˆ{-p t} \, \mathrm dt \end{align}

Le passage du symbole d'intégration au sein de la série est complexe à justifier si le résultat final n'est pas convergent.

\begin{align}X_q(s) &=  \sum_{n=-\infty}ˆ{\infty} x[n] \int_{0ˆ-}ˆ{\infty} \delta(t - n T) eˆ{-p t} \, \mathrm dt \\
 &= \sum_{n=-\infty}ˆ{\infty} x[n] eˆ{-n p T} \end{align}

Ce qui est exactement la définition de la transformée en Z d'un signal discret  x[n] \

 X(z) = \sum_{n=-\infty}ˆ{\infty} x[n] zˆ{-n}

avec la substitution  z \leftarrow eˆ{p T} \ .

En comparant les deux dernières équations, nous trouvons la relation entre la transformée en Z et la transformée de Laplace d'un signal discret :

X_q(p) =  X(z) \Big|_{z=eˆ{pT}}.

Transformée de Fourier discrète

La transformée en Z est la généralisation de la Transformée de Fourier discrète (TFD). La TFD peut être trouvé en évaluant X (z) en z = eiω ou, en d'autres termes, en l'évaluant sur le cercle unité.

X(eˆ{i \omega}) =  X(z) \Big|_{z=eˆ{i \omega}}.

Transformées en Z usuelles

\delta[n] \, représente l'impulsion de Dirac et u[n] \, la fonction de Heaviside nommée aussi échelon unitaire, step en anglais.

  Signal x (n) Transformée en Z X (z) Domaine de convergence
1 \delta[n] \, 1\,  \mathbb{C}\
2 u[n] \,  \frac{1}{1-zˆ{-1}} <img class=  \frac{1}{1-a zˆ{-1}} <img class=  \frac{azˆ{-1} }{ (1-a zˆ{-1})ˆ2 } <img class=  \frac{1}{1-a zˆ{-1}}  |z| < |a|\,
6 -n aˆn u[-n-1] \,  \frac{azˆ{-1} }{ (1-a zˆ{-1})ˆ2 }  |z| < |a|\,
7 \cos(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ 1-zˆ{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2zˆ{-1}\cos(\omega_0)+ zˆ{-2} } <img class=  \frac{ zˆ{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2zˆ{-1}\cos(\omega_0)+ zˆ{-2} } <img class=  \frac{ 1-a zˆ{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2azˆ{-1}\cos(\omega_0)+ aˆ2 zˆ{-2} } <img class=  \frac{ azˆ{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2azˆ{-1}\cos(\omega_0)+ aˆ2 zˆ{-2} } <img class=

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